凯利公式的仓位系数如何计算?

凯利公式:f=(bp-q)/b,也即=p-q/b,(p为胜率,q为赔率,b为赔率)
关于凯利公式的应用必要条件以及应用场景,我们逐步论证:操盘手必须要学会的资金管理技术,这也是众多交易员必备的技术知识。
(以下投资的仓位分析中假设不载考虑市场属性的问题,因为该投资下注已经考虑过了市场属性的问题)

A.因为凯利公式是有“顺序”,这个“顺序”的意思是:如果这一次下注本金的20%而且亏了,那么下一次下注的比例是下一次本金的20%,这样的话赌徒的本金永远都亏不完;也就是说只有等这一局的结果出来后,才能进行下一句的下注;



B.因为A的情况下,我们理所当然的会想到凯利公式在短期交易(几天)和长期投资(1年及其以上)中的应用的不同(因为资金的时间成本是不同的),继续按照这个逻辑往下:
1.在短线交易上,因为时间周期短,资金的时间成本会变得很低,模式上更加类似于(加红为后面做铺垫)凯利公式的应用场景,比如:先下一局,结果两天就出来了,然后按照下一次的资金规模算出来f,继续下注,也就是类似于“永远亏不完的状态”;
2.对于长期来说,就会发现漏洞百出。

来举几个例子:

A.有一个把胜率p=50%,赔率为3的长期投资机会,按照凯利的计算则下注比例为33%,那么剩下的66%的资金都被闲置了,有违投资基本常识;(这是时间成本方面的疑问,为以下做铺垫)

B.当有一个胜率p=80%,赔率为1的长期投资机会,那么按照凯利公式的计算则仓位比例为60%;
当有一个胜率p=80%,赔率为2的长期投资机会,那么按照凯利公式的计算则仓位比例为70%;
当有一个胜率p=80%,赔率为10的长期投资机会,那么按照凯利公式的计算则仓位比例为78%;
尤其是B中的第二个和第三个“严重”违背投资常识,假如一个赔率=+300%/30%,即赢了的时候是赚取300%,亏损的时候是-30%,那面对这样的长期投资机会的话,最优的选择应该是all in。想想一下一个投资机会b=2,亏的时候是30%,赚的时候是60%;投资机会b=10,亏的时候是30%,赚的时候是300%,但仓位仅仅增加了8%,这是不可思议的事情。
为什么凯利公式失效了,原因在于我“放宽”凯利的假设条件,即赔率的隐含意思是,如果亏的话,必须要亏完。

这个B的例子我们会注意到,虽然是长期投资,但是推翻凯利公式在长期投资的论据不在时间长短上,而是在如果亏的话,必须要亏完这个假设上。
那么这个逻辑同样可以应用到短线交易上,逻辑参考B即可。
所以凯利公式成立的条件就们明显了:
1.如果判断失败了,那你下的注必须要亏完;
2.时间成本要低,投资结果要很快出来;
可以得出初步结论:1.对于中长期投资来说,凯利公式没有参考意义;
2.对于短期投资来说,凯利公式没有参考意义(为下面做铺垫);
3.对于期货短期交易来说,有一定的参考意义;
4.对于外汇投机来说,非常有意义;
5.对于扑克牌和各种赌博来说,非常有意义。

关于第二条我有一个联想:假如投资人有100万,那么他是明显不满足要亏就亏完的情况的,这时候我们可能会联想到融资加杠杆,但是一般杠杆不够;但是如果换一种角度,这100万资金看成90万的劣后级、以及10万的优先级就可以应用凯利公式了,假设一个投资机会赔率是3=30%/10%(也就是300%或者爆仓),在满足凯利公式的条件下,投资人的胜率如果为p=50%,则下注比例应该为33%,也就是下注33万;如果赔率为2,那么下注比例为25%。
注意标红的文字,一般来说p=50%,赔率为2=20%/10%,一般短线投资人不敢下这么大的仓位。也即是说隐含的资金成本较大。

二、谈论二
那么短期交易和中长期投资关注的重点到底是什么呢?
我先关注中长期投资,而后在逐渐过渡到短期交易。
假设一个长期投资机会X(一年期限),胜率50%,赔率为b=2=10%/5%的400万的一个投资机会。
那么这个投资的期望值是410,结果为两种440/380,概率分别为50%、50%。
假设有四个相互独立的X的投资机会,这个投资组合成为Y,平均投资下注,则投资结果的的分布如下:
资产
440
425
410
395
380

概率

6.25%
25%
37.5%
25%
6.25%
那么这个投资组合的期望值是也是410,但是方差要比X小很多。
在这个基础上,我引入一个概念:概率敏度函数,这个例子的概率密度函数是二项分布,X例子是极端情况,Y例子是相对分散的情况,分散成100个就成了这种了:

之所以取正态分布是因为,二项分布的极限是正太分布。
换成人话来解释就是,每一年投资个X,和每一年投一个Y(也就是相互独立的4个X),长期来看两者是基本一致的,X的结果和方差会无线逼近于长期的Y的分布,而Y的分布则无线逼近于正太分布。

有几个初步的结论:
一个术语的解释:Q:很看好(高胜率、高赔率);W:次很看好(高胜率、中赔率)、E:一般看好(高概率、低赔率),注意没有R:低胜率、高赔率的情况。

1.如果不怕收益率方差大(也就是收益率波动大),而且手里只有一只Q的股票的话,那就应该把所有的仓位放进Q股票中。(投资失败的话即预计事项落空的话,股票不会退市,或者不会跌成基本上等同于退市的情况,比如跌个80%、或者90%);

2.如果有几只Q的话(相互独立事件,同下),那最优的仓位比例是平均分。因为长期来看类似X和Y之间没有差别,短期X承受了高波动率但是没有高期望值,在这种情况下,单单投资X是奇怪的;

3.如果有几只Q和几只W的股票的话,那具体的仓位比例就要看基金经理在于其收益率和方差(收益波动率)之前的平衡和妥协了。

前面短期交易(在此假设5天可以出结果)在蓝色字体看待角度的情况下,我们换一个角度按照谈论二来看待短期交易,
还是蓝册字体讨论的例子p=50%,赔率为2=20%/10%,如果只有一个满足这个情况,那应该满仓一只,如果有两个那应该满仓、并平均持仓;如果有三只那应该满仓、并平均持仓,所以如果有N个,就应该满仓,并平均持仓。
那么蓝色字体和当前的判断分歧点在哪呢?考虑到5天的交易周期,两者的看待的差异应该是资金成本和资金利用率带来的差异,具体的详细原因我在思考下,现在写这么多吧,先发出来。

那么蓝色字体和当前的判断分歧点在哪呢?考虑到5天的交易周期,两者的看待的差异应该是资金成本和资金利用率带来的差异,具体的详细原因我在思考下,现在写这么多吧,先发出来。
接着上次的问题继续往下,我重申下凯利公式成立的两个条件:

1.亏得话,必须要亏完(或者基本上等同于亏完);
2.时间周期要非常短。
先看第一个条件,如果有100万的自有资金,假设分成90的优先级和10万的劣后级,
则杠杆率为10倍;相对于自有资金100万,配置900万的杠杆的情况下来说,为了满足凯利公式其“有效规模”仅为后者的1/10。因为不满足“条件”,这个结果好像步伐进行参考。
优秀的交易员的胜率一般在0.4左右,即意味着赔率不在1.5以上不应该出手。
当然也可以调整成5倍的杠杆,即亏损20%亏完现有仓位,承受20%的短线风险不像是短期交易的风格,不讨论了。而且在南京交易所情况下,没有理由能找到跌20%,后来还能起来30%以上的原因。

既然条件一和条件二怎么样都绕不过去,那么换个角度来试试。
我尝试用中长期投资逻辑来理顺下,如果有一个100万的投资机会,胜率0.4,赔率为2=20%/10%。承接上次的中长期投资中,关于相互独立的投资机会X,其投资组合的收益率服从二项分布,极限服从正态分布的情况。中长期(假设为1年)应该投资越多越好的X,只要X的质量是足够优秀的(这里假设是的),在这里我假设一共投资了54个相互独立的X,而且一年后到期。
短线交易上,如果我们把交易期限分成54周,假设每一周都有一个Y(Y胜率0.4,赔率为2=20%/10%)的短线交易,而且结果能在一周之内就可以出来,这样的话一个中长期投资的54个X和短期的连续的54个Y产生的结果是一样的。

54个交易机会,意味着每次大约2%的仓位。如果是4%的仓位,那就意味总预期收益翻倍,而且注意方差并没有很大的变化,一下进行非数学论证:

每次4%的仓位,也就是说前25次就用一圈本金。我们假设前25次全部都是亏损,则第26次本金还剩余90万,在不相互占用资金的情况下,可以用到第23次。考虑到可以占用自己资金的情况,4%的仓位是可以接收到。

两个例子基本可以看到,其本质上也是在“翻倍”预期收益率(翻倍每次的仓位)和方差之间做一个平衡,即出现最恶劣的情况下,不会没有“翻身”机会。
因为一旦使用2%以上的资金时候,其和中长期的情况就不同了,相互之间没有参考意义的,下面单独列出来讨论。

预期收益率和方差的平衡(一个周期考虑)
假设了每次4%的仓位,翻倍至8%仓位,用10%更方便。这个时候资金的“利用率”是本金的5倍,预期收益率也是之前的5倍。假如连续亏损10次,届时本金为90万,该事件发生概率为0.6%;(折算后:年化收益率为25%)
假设每次用20%仓位,这个时候资金的“利用率”是本金的10倍;连续亏损5次的概率为7.8%;(折算后:年化收益率为50%)
假设每次用33%仓位,这个时候资金的“利用率”是本金的17倍;连续亏损3次的概率为22%;(折算后:年化收益率为85%)
假设每次用50%仓位,这个时候资金的“利用率”是本金的25倍;连续亏损2次的概率为36%;(折算后:年化收益率为125%)
假设每次用100%仓位,这个时候资金的“利用率”是本金的50倍;连续亏损1次的概率为60%;(折算后:年化收益率为250%)

结合方差的情况和折算后年化收益率的情况,我觉得10%-20%的仓位是相对合理的,20% 的仓位相对激进,方差并不是很大,但是折算后的收益率太不靠谱了,很难达到这么高——85%。
我以仓位为33%为例子,如果一周有一个机会也可用于33%的仓位下注,那么这个机会可以用三个相同的机会但是只有11%的仓位来代替,这样如果每一周有一次以上的交易机会的话,那么这样“33%”仓位的机会是更加有效的选择。

综述:仓位是结合合理的收益率预期(我选择的是10%-20%),加上交易机会的次数(我假设的是每周的机会,并在倒数第二段讨论了一周三次的情况),再结合投资人风险偏好(即对于方差大小的接受程度),最后一个个性化的结果。
 
 
作者:贾元宏
链接:https://www.zhihu.com/question/23534782/answer/108093123
来源:知乎
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